Einführung - kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Mona und Max haben sich tatsächlich miteinander verabredet. Zuerst ging es ins Schwimmbad und anschließend eine große Pizza für jeden.
Welche Eigenschaften haben Mona und Max als Paar?
Mona und Max als Paar:
- hört gerne Musik
- geht gerne Schwimmen
- isst gerne Pizza
- mag Pferde
- mag Hunde
- spielt Klavier
- spielt Schlagzeug
Auf der Seite zur Primfaktorzerlegung haben wir folgende Zerlegungen für die Zahlen 12 und 980 gefunden:
- 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
- 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 = 980
Was ist nun das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen?
Gehe genauso vor wie bei Mona und Max als Traumpaar und kombiniere ihre Eigenschaften: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 980 ist somit 2940.
Bedeutung des kleinsten gemeinsamen Vielfachem (kgV)
Es lohnt, sich einmal kurz Gedanken über die Bedeutung des Begriffes kleinstes gemeinsames Vielfaches zu machen.
Das kgV bezieht sich immer auf mindestens 2 gegebene Zahlen und stellt eine Zahl dar, welche ein Vielfaches dieser Zahlen ist. Deshalb "gemeinsames Vielfaches".
Ein weiteres gemeinsames Vielfaches von 12 und 980 wäre 5880, denn ohne Rest ergibt 5880 : 12 = 490 und 5880 : 980 = 6.
Nun geht es aber nicht um irgendein gemeinsames Vielfaches, sondern um das kleinste!
Es gibt kein kleineres gemeinsames Vielfaches von 12 und 980 als 2940.
Das kgV wird noch eine wichtige Rolle beim Hauptnenner, sowie beim Brüche Addieren und beim Brüche Subtrahieren spielen.
Berechnung des kgV durch Primfaktorzerlegung
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von mehreren Zahlen, indem Du sie zunächst in Primfaktoren zerlegst und anschließend alle Primfaktoren miteinander multiplizierst. Alle gemeinsamen Primfaktoren zählen hierbei nur einfach.
Als Nebenrechnung kannst Du Dir eine Tabelle anlegen:
- Trage in der ersten Zeile als Überschrift die Primfaktoren ein
- Trage für jede Zahl in einer eigenen Zeile ein, wie oft der jeweilige Primfaktor in der Zerlegung vorkommt; Schreibe die Zahl in die letzte Spalte
- Die Primfaktoren des kleinsten gemeinsamen Vielfachem (kgV) erhältst Du, indem Du in der letzten Spalte jeweils die maximale Anzahl jedes Primfaktoren einträgst
- Berechne schließlich den ggT, indem Du seine Primfaktoren miteinander multiplizierst. Trage das Ergebnis in das Feld rechts unten ein.
Beispiel: Bestimme das kgV durch Primfaktorzerlegung
Beispiel: Finde das kgV von 297, 1386 und 396!
Wie man auf die Zerlegung in Primfaktoren dieser Zahlen kommt, findest Du ausführlich auf der Seite zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Das Ergebnis:
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 297
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 1386
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 396
Die Tabelle sieht nach den drei Zerlegungen so aus:
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen wir nur noch die Primfaktoren der 3 Zahlen miteinander multiplizieren. Primfaktoren die alle Zahlen gemeinsam haben zählen nur einfach!
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 297, 1386 und 396 ist:
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 8316.
Trage hierfür in der Tabelle in einer neuen Zeile die maximale Anzahl des jeweiligen Primfaktors ein. Berechne schließlich das kgV, indem Du seine Primfaktoren miteinander multiplizierst. Trage das Ergebnis in das Feld rechts unten ein:
